第九章           抽象代数·线性空间·泛函分析

本章内容包括抽象代数、线性空间与泛函分析三个部分,重点介绍线性空间. 为了介绍线性空间的需要,这里简略地介绍了抽象代数的初步知识,即群、环、域等基本概念及其简单的性质. 泛函分析是作为线性空间的理论在分析上应用的一个范例来介绍的,因而也不作系统的叙述. 在这里除了叙述勒贝格积分的基本概念与重要性质外,还扼要地介绍了赋范线性空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间和它们的一些简单的性质.

    在线性空间部分介绍了线性空间、线性变换、酉空间、二次型和埃尔米特型、方阵的若当标准型等的定义、性质以及一些算法.

§抽象代数

一、基本代数系统

    [代数运算假定对于集(见第二十一章,§1,一)A中任意元素a与集B中任意元素b,按某一法则可以与某一集C中唯一确定的元素c对应,则称这个对应为AB的一个(二元)代数运算. AB也可以是同一个集,就是对A中任两个元素ab,可以唯一确定元素c,使c可属于A或不属于A,若属于A,则称A在运算下是封闭的.

在二元运算下,若对A的任意两个元素ab成立,则称A是可交换的. 若对A的任意三个元素abc下,成立,则称A是可结合的. 若运算是通常的加法或乘法,就分别记作. 整数集中的加法和乘法都是可交换的与可结合的,因此整数集是可交换和可结合的.

[代数系统如果一个集A具有满足某些法则的代数运算,就称集A为代数系统. 群、环、域就是三个基本的代数系统.