§8  重要平面曲线表

[三次曲线]

       

  

 

        

   

 

  

    (a >0 , b<0 ,Δ>0)       (a >0 , b<0 ,Δ=0)

          (a)                   (b)

      

  这些曲线都是关于直线对称的

曲线由两支组成

渐近线y = ax = 0

曲线与y = a的交点

             

曲线与x轴的交点

      

极值点 

   

( a )

不连续点 

 

线              

       

b

不连续点    

线    

c

    

        

   

在这两点的斜率分别为        

线     y = 0

                    

             

 

         

 

 

    

[] a, b为方程的两个根,并设

a

不连续点     x = ax = b

线     y = 0x = ax = b

b

不连续点     x = ax = b

    

         C

线     y = 0x = ax = b

( c )

不连续点     x = ax = b

    

         C

线     y = 0x = ax = b

d

不连续点    

    

         C

线     y = 0

e

不连续点    

         C

线     y = 0

f

    

         C, D, E三点

线     y = 0

上述三次曲线的图形,只列出a>0的情况,对于a<0时,除曲线(当a>0时渐近线在x轴上方,当a<0时,渐近线在x轴下方)外,一般作适当变化后,与a>0时的曲线都是关于x轴对称的.例如a<0时,两条曲线:是关于x轴对称的,而后者x2系数.

[抛物型曲线]

         

  

 

 

       

 

 

(a)   n为偶数:

y变到

极值点  奇数个(1n-1

    偶数个(0n-2

(b)     n为奇数

y变到

极值点  偶数个(0n-1

    奇数个(1n-2

曲线与x轴的交点A1, A2,A3(或一个交点A1)为方程的实根与y轴的交点

极值点      C,DC取正号,D取负号)

    它是曲线

        的对称中心,该点的切线斜率为

    

               

    (a)               (b)

(a)  n为偶数:

顶点(同极值点)O(0, 0)

曲线关于y轴对称

(b)  n为奇数:

拐点      O(0, 0)

曲线关于原点对称

m, n为两个互素的整数)

 

n为偶数

m奇数

n为奇数

m偶数

n为奇数

m奇数

相切情况

  m>n

  m<n

对称情况

关于x轴对称

 关于y轴对称

   关于原点对称

在原点处与x轴相切

在原点处与y轴相切

 

[双曲型曲线]

 

 

 

[半立方抛物线]

 

    

[箕舌线]

 

[笛卡儿叶形线]

 

  

[蔓叶线]

 

     

[环索线]

 

    

[尼哥米德蚌线]

 

   (外支线取正号,内支线取负号)

 (a)  n为偶数:

       不连续点     O0, 0

线     y = 0x = 0

曲线关于y轴对称

 (b)  n为奇数:

曲线关于原点对称

(a)    n为偶数,m为奇数:

不连续点     O0, 0

线     y = 0x = 0

曲线关于x对称

 (b)    n为奇数,m为偶数:

曲线关于y对称

 (c)    n为奇数,m为奇数:

 曲线关于原点对称

尖点        在该点与x轴相切

曲率半径    

弧长     

极大点  ,在该点的曲率半径为

    ,在这两点的切线斜率分别为

线    

曲线与渐近线之间的面积    

    ,在该点与x轴和y轴相切,曲率半径为

   

渐近线 

圈套所围成的面积

曲线与渐近线之间的面积    

曲线是使的点M的轨迹(P是直径为a的母圆与OQ的交点)

    ,在该点曲线与x轴相切

渐近线 

曲线与渐近线之间的面积

曲线是使PM1 = PM2 = OP的点M1 , M2的轨迹(Py轴上一点,M1,M2在过A, P两点的射线上)

           A(a, 0)

           O(0, 0)

       渐近线  x = -a

       圈套所围成的面积

                    

       曲线与渐近线之间的面积

                    

曲线是使OM1 = OP + b,OM2 = OP - b的点M1,M2的轨迹(分别称为外支线()和内支线())

       外支线

                  A(a + b, 0)

                  B, C,它们的横坐标等于方程x3 – 3a2x + 2a(a2b2) = 0的最大根

内支线

    D(a - b, 0)

  点(a>b时)E, F,它们的横坐标等于方程x3 – 3a2x + 2a(a2b2) = 0的第二个正根

  点(a=b时)    O(0, 0)

  点(a<b时)    O(0, 0)

       内外支线的渐近线x = a

 [帕斯卡蜗线]

                           

                         为圆的直径)

    曲线是使OM = OP ± b的点M的轨迹(P点在直径为a的圆周上)

                Ak, Bk(a ± b, 0)(k=1, 2, 3, 4, 5)B2与原点重合

  点(b<a时)O(0, 0),在该点的切线的斜率为,该点的曲率半径为

  点(b=a时)O(0, 0)

孤立点(b>a时)O(0, 0)

极值点       b<a时有4个,当b³a时有2个:b0变到¥时,所有极值点构成蔓叶线

拐点(a<b<2a时)

二重切线的切点(b<2a时):

           

这些切点在圆r = - acosj上蜗线所围成的面积

                  

(当b<a时,内圆的面积计算了两次)

[]      b=a时,即为心脏线.

[卡西尼卵形线]

    曲线是使MF1×MF2 = a2的点M的轨迹(F1, F2为固定焦点,F1F2 = 2ca为常数).

              

                  

      极值点      

     a0变到时,所有极值点构成一个圆(半径为c

           

           

其中

           

           

      ac变到时,所有拐点构成双纽线

[]a=c时,即为双纽线.

[心脏线]

 

      

        

   

[双纽线]

      

      

[普通旋轮线(摆线)]

 

      

[长(或短)辐旋轮线(次摆线)]

 

           长轴(λ>1)

           短轴(λ<1)

[圆外旋轮线(外摆线)]

a为定圆的半径,b为动圆的半径,t = ÐCOx

  

  

 

(i)       它是使OM = OP ± a的点M的轨迹(a为圆的直径,P为圆周上的一点)

ii 它是圆外旋轮线的特例(动圆与定圆的直径相等)

           O(0, 0)

           A(2a, 0)

       极值点 

       二重切线的切点      

       曲线长  L = 8a

          

(i)           它是使MF1 × MF2 = a2的点M的轨迹(OF1 = a

(ii)          它是使OM = PQ的点M的轨迹(P, Q在圆心为F1,半径为的圆周上)

    (同拐点)O(0, 0),在该点的切线的斜率为± 1

   

极值点 

曲率半径    

双纽面积     S = 2a2

       曲线是一圆周沿x轴滚动而无滑动时,圆周上一点M所描成的轨迹(圆的半径为a

           T = 2pa

       极值点      

       曲率半径    

       渐屈线  为一旋轮线(图中虚线)

          

          

       曲线是一圆周沿x轴滚动而无滑动对,圆外一点M(或圆内一点N)所描成的轨迹(圆的半径为a

           T = 2pa

               

        

       极大值点

       极小值点    

曲率半径      

对应于极值点(l<1时)处的曲率半径为

曲线是一圆周沿另一圆周外部滚动而无滑动时,圆周上一点M所描成的轨迹,曲线的形状由的值而定

(i)           m = 1时,曲线是心脏线

(ii)          m为整数时,曲线由m支组成,动点M描完m支后(即动圆绕定圆一周),返回起始位置

(iii)        m为分数(g, h为互素的整数)时,曲线由g支组成,动点M描完g支后(即动圆绕定圆h周),返回起始位置

(iv)        m为无理数时,有无穷多的分支,动点M不能返回起始位置

       

                (式中k为整数,当m为整数时,;当时,;当m为无理数时,

曲线长(一支)

曲率半径    

扇形A1B1A2A1的面积(不包括定圆的面积)

   

 [圆内旋轮线(内摆线)]

a为定圆半径,b为动圆半径,t = ÐCOx

 

  

曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时,圆周上一点M所描成的轨迹.

圆内旋轮线的尖点、顶点的坐标,弧长,曲率半径及面积公式都与圆外旋轮线一样,只须把“+b”换成“-b.总是大于1,特别,当m = 4时,曲线有4只,称为星形线,其方程为

全曲线长L = 6a

曲线所围成的面积  

[长(或短)辐圆外旋轮线(外次摆线)]

  a为定圆半径,b为动圆半径)

      

       曲线是一圆周沿另一圆周的外部滚动而无滑动时,圆周外部(或内部)一点M所描成的轨迹.

       [(或短)辐圆内旋轮线(内次摆线)]

a为定圆半径,b为动圆半径)

    

                    长辐                  短辐

       曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时,圆周外部(或内部)一点M所描成的轨迹.特别,当a=2b时,长短辐圆内旋轮线是一个椭圆;当a=b时,是帕斯卡蜗线.

 

[阿基米德螺线]

  

 

  曲线为一动点以常速沿一射线运动,而这一射线又以定角速度绕极点O转动时,该动点所描成的轨迹.曲线由两支曲线组成,它们关于x轴对称.

  (方程,

等距性  过极点的射线与曲线交于A0,A1,A2,L,它们是等间隔()

 

曲率半径 

扇形M1OM2的面积 

[对数螺线(等角螺线)]

 

  曲线与所有过极点的射线的交角都相等(a)(k=cota),当时,曲线沿顺时针方向绕极点转动而趋于极点

等比性  过极点的射线与曲线交于L,A-1,A0,A1,L,则L,OA0,OA1,L,各线段成等比级数(公比为

弧长 

      

曲率半径 

[]时,即为一圆

       [双曲螺线(反螺线)]

             

               

       渐近点  极点O(当时)

       渐近线  y=a

       曲率半径 

       扇形M1OM2的面积 

       曲线由两支组成,它们关于y轴对称

       [连锁螺线]

             

              

       曲线是当Nx轴上移动时,使圆扇形OMN的面积保持一定的点M的轨迹

       渐近点  极点O(当时)

       渐近线  x轴(当时)

       

   

[圆的渐开线]

  a为圆的半径,t=COx

   

尖点  A(a,,0)

x轴的交点  B(,0)

(式中t0为方程t=tant的根)

弧长 

曲率半径 

曲率中心C在圆周上

曲线由两支组成,它们关于x轴对称

[回旋曲线]

 

 

拐点  O(0,0)

渐近点  A()

        B( )

弧长 

曲线关于原点对称

               

                    

[悬链线]

 

      

顶点  A(0, a)

弧长 

曲边梯形OAMP的面积

   

曲率半径 

曲线关于y轴对称,位于抛物线y=a+(图中虚线)的上方

[]  把一条柔软而不能伸长的重绳悬挂于

     两点,便得到悬链线的形状

[曳物线]

  x=aArch

  x=aln

      

尖点  A(0,a),在该点与y轴相切

弧长  =aln

曲率半径  R=acot

曲线关于y轴对称,是悬链线的渐开线,从顶点A开始展开,这一曲线的切线与x轴的交点到切点的距离为一常数.

[] 把长度为a的柔软而不能伸长的绳子的

     一端系一质点M,另一端P沿轴x移动,

     则点M便描成曳物线形状

         [玫瑰线]

         

        

        

 

             

 

       

   

[概率曲线]

  y=a   (a>0, k>0)

顶点(同极大点)  A(0, a)

拐点  B,C

该点切线的斜率为

曲线与x轴间的面积

曲线关于y轴对称

[标准正态分布曲线(高斯曲线)]

  y=

顶点  A(0,0.3989)

拐点  B,C()

曲线与x轴间的面积为1

曲线关于y轴对称

[一般正态分布曲线]

  y=

 

[阻尼振动曲线]

  y=A   (A>0)

顶点(同极大点)

      A(m,)

拐点  B,C(m)

曲线与x轴间的面积为1

曲线关于直线x=m对称

x轴的交点

     Bk  (k=1,2L)

y轴的交点C(0,Asin0)

极值点  Ak的横坐标为

  (式中tan

拐点  Dk的横坐标为

  (式中tan

曲线与两条指数曲线

     y=相切,切点

    Pk