§4 酉空间
一、 酉空间的定义与性质
[酉空间与欧氏空间] 设V为一个复数域F上的线性空间,若在V中定义了两个矢量的内积(数量积),记作(),且满足:
(i) ()=(),其中()是()的共轭复数;
(ii) (),等号当且仅当时成立;
(iii) ,对任意成立;
则称V为一酉(U)空间,又称为内积空间.
若F是实数域,这时内积是可交换的. 有限维实酉空间称为欧氏空间.
例 n维线性空间中,若规定
式中
则是一个酉空间.
酉空间V中的内积具有性质:
1o()=
2o
3o 一般,则
4o
[模(范数)] 由于,所以是实的. 令
称它为酉空间V中矢量的模或范数. 模为1的矢量称为单位矢量或标准矢量.
设α,β为酉空间的矢量,c为一复数,则
1o
2o (柯西-施瓦兹不等式)
等号当且仅当α和β线性相关时成立.
3o
这些性质与空间的维数无关.
[正交与标准正交基] 酉空间V中,若,则称矢量α正交于β. 显然,若α正交于β,则β也正交于α.
酉空间中,任意一组两两正交非零矢量是线性无关的.
如果一组单位矢量两两正交,则称它为一个标准正交组. 若这矢量组又生成整个空间V,则称它为V的标准正交基.
设{}为酉空间V的一组标准正交矢量,,则
1o
(贝塞耳不等式)
2o正交于
3o当V是有限维空间时,{}成为V的基底的充分必要条件是:任一个矢量可表示为
且
[子空间的正交补空间] 设V为复数域上的酉空间,S为V的一个子空间,若
(i)
(ii) 对和有
则称T为S的正交补空间.
由(i)立刻可知(空集).
若S是一个有限维酉空间的一个子空间,则中有一个子空间T为S的正交补空间.
二、 酉空间上的特殊线性变换
[共轭变换] 对域F上酉空间V上的一个线性变换L,由关系式
所定义的变换是线性变换, 称为L的共轭变换. 若,则称L为正规变换.
共轭变换有以下性质:
1o
2o
3o
4o
5o若L是非奇异线性变换,则也是非奇异线性变换,并且
6o若在某一标准正交基下L的矩阵为A,则共轭变换关于这同一基底的矩阵为A的共轭转置矩阵.
[自共轭变换(埃尔米特变换)] 若,则称L为自共轭变换或埃尔米特变换.
自共轭变换有以下性质:
1o若L,M为自共轭变换,则也是自共轭变换.
当L,M可交换时,LM也是自共轭变换.
2o在标准正交基下,自共轭变换的矩阵是埃尔米特矩阵. 反之,线性变换关于一标准正交基的矩阵是埃尔米特矩阵,则必为自共轭变换.
3o自共轭变换的特征值是实的.
4o有适当的标准正交基使自共轭变换L对应于一个实对角线矩阵,其主对角线上的元素是L的全部特征值.
[酉变换] 若对酉空间V中的任意,有线性变换L,使
则称L为酉变换.
酉变换有以下性质:
1o恒等变换为酉变换.
2o若L,M为酉变换,则LM也为酉变换.
3o若L为酉变换,则也为酉变换.
4oL为酉变换的充分必要条件是:
或
5o在标准正交基下,酉变换L的矩阵是酉矩阵.
反之,线性变换关于一标准正交基的矩阵是酉矩阵,则必为酉变换.
6o酉变换的特征值的绝对值都是1.
三、射影
[射影及其性质] 对线性空间V上的一个线性变换P,若有V的两个互补子空间S和T使得若,则
这种变换P称为V沿T在S上的射影.
射影有以下性质:
1o若P是一个射影,则
因此射影是一个幂等变换;反之,幂等变换必为射影.
2o若是线性空间V分别沿在上和沿在上的射影,则
(i) 是一个射影,当且仅当若时,则,并且是沿在上的射影.
(ii) 若,则P是沿在上的射影.
3o设T,S为有限维线性空间的两个互补子空间,P为沿子空间T在子空间S上的射影,则P的矩阵可化为如下形式:
式中A是k阶方阵.
[正射影] 设S,T为复数域上一酉空间 V的互补子空间,则V沿T在S上的射影称为V在S上的正射影.
[自共轭变换的分解] 设L是有限维酉空间V上一个自共轭变换. 令为L的不同特征值,令为使的矢量α的集合,则是V的子空间. 显然对,和是V的正交补空间. 若{}是Si的一个标准正交基,其中是的维数,则由一切这些所组成的集{}是V的一个标准正交基. 最后使Pi为V在Si上的射影,则关于上面的基底,L的矩阵有如下的形式:
=
式中表示阶单位矩阵. 另一方面,关于这个基底射影Pi的矩阵为
式中表示阶的零矩阵.
因此自共轭变换可以写成射影的一个线性组合.
四、酉空间中的度量
在本节第一段中,已经引入酉空间中的每个矢量α的模(范数). 酉空间中两“点”(即矢量)α,β的距离与任二矢量α,β之间的角度的定义如下:
由上述方程所定义的函数满足尺度空间(见第二十一章,§4,一)中的一切条件.
若V是一个实酉空间,则对一切,角度必须是实的.