§2 线性空间与线性子空间
一、 线性空间
[线性运算] 设F是一个域,其元素a,b,c,…作为数量;V是任一种类对象的集,其元素用希腊字母α,β,γ,…表示. 确定两个运算法则:
1o V中元素的加法. 对V中任二元素α,β,总有唯一确定的元素γ与它们对应,称为α与β之和,记作.
2o F中的数量与V中元素的乘法. 对F中任一数a与V中任一元α,总有唯一确定的元素δ与它们对应,称为a与α的数乘,记作
这两个运算法则称为线性运算.
[线性空间及其性质] 设F是一个域,V是任一种类对象的集,若对线性运算满足以下条件,则称V为域F上的线性空间:
(i) V是一个加法群;
(ii) 对任意元a∈F与α∈V,对应着唯一确定的一个元
(iii) 满足分配律和结合律,即对有
域F的元素称为线性空间的数量,V的元素称为它的矢量,因而线性空间又称矢量空间. 加法群的单位元称为零矢量,记作0,(-1)α是α∈V的逆元,称为负矢量.
实数域上的线性空间称为实线性空间;复数域上的线性空间称为复线性空间.
例1 三维空间中的矢量全体组成一个实线性空间.
例2 数域F上的多项式环F[x],按照通常的多项式加法与多项式乘法,组成数域F上的线性空间.
例3 元素属于数域F的m×n矩阵,按照矩阵的加法和矩阵与数的乘法,组成数域F上的线性空间.
例4 按照通常的加法和乘法,实数全体是实数域R上的线性空间. 复数全体是复数域C上的线性空间. 任一域是用自己当作数量域的线性空间.
例5 把在一个实区间(a,b)中定义的每个连续实函数当作一个元素,任意两个元素f与g的和记作,是在中定义的一个连续实函数,它在每一点x的值规定为
又把一个元素f乘实数c所得到的元素规定为
则这些元素全体组成一个实线性空间.
线性空间有以下性质:
1o零矢量是唯一的.
2o负矢量是唯一的.
3o.
4o若则c=0或α=0.
[线性相关与线性无关] 域F上的线性空间V中一组有限个矢量,如果对,仅当时等式
才成立,则称矢量组为线性无关,否则称为线性相关. 若矢量组线性相关,则其中至少有一个矢量是其余矢量的一个线性组合:
含零矢量0的任一组矢量是线性相关的.
假定域F上的线性空间V上又定义了收敛性(第二十一章,§3,四),V中一组无限多个矢量,如果对F中的仅当时等式
才成立,则称矢量为线性无关,否则称为线性相关.
[基底与坐标] 域F上的线性空间V中一组矢量如果满足
(i) 是线性无关的;
(ii) V中任一矢量都是矢量的一个有限线性组合;则称为V的一个有限基底,也称生成(或张成)这个空间,为空间的一组生成元.
设为V的一组基底,则V中任一矢量α一定可以用的线性组合来表示:
式中复数是唯一确定的,它称为矢量α关于基底的坐标.
如果V有一个有限基底,就称V是一个有限维线性空间,否则,称为无限维空间. 有限维线性空间V的基底的矢量个数称为V的维数,记作.
[第一维数定理] 域F上有限维线性空间V的任意两个基底有相同个数的元素.
推论 设为一个n维线性空间V中一组线性无关的矢量,显然,则在V中存在一个基底使得是它的一部分.
二、 线性子空间
[线性子空间] 设S是域F上线性空间V的一个非空子集,若S对于V的线性运算也构成线性空间,则称S为V的一个线性子空间,简称为子空间.
设S是域F上线性空间V的一个子集,若关于线性运算是封闭的,即
(i) 若则;
(ii) 若,则;
则S是V的子空间.
例如,在线性空间V中的单个零矢量所组成的子集是V的一个子空间,称为零子空间. V本身也是V的一个子空间.
这两个子空间称为V的平凡子空间.
设为域F上线性空间V中的一组矢量,这组矢量的一切线性组合
构成V的一个子空间,称为由生成(或张成)的子空间. 这是V的非平凡子空间.
[子空间的交与和] 设S,T是域F上线性空间V的子空间,属于S又属于T的V中一切矢量所构成的子集称为S与T的交(通集),记作. 由能表示为的一切矢量构成的子集称为S与T的和(和集),记作(或).
设S与T是F上线性空间V的两个子空间,则S与T的交以及和都是V的子空间.
[第二维数定理] 设S与T是线性空间V的两个子空间,则
(这里表示线性空间V的维数).
推论 若n维线性空间V中两个子空间S与T的维数之和大于n,则S,T必含有公共非零矢量.
例如,三维空间中两个不同平面(二维子空间)交于一条直线,由于,但,所以.
[子空间的直和] 设是线性空间V的子空间,若和中每个矢量α的分解式
是唯一的. 这个和就称为直和,记作
子空间的直和具有以下性质:
1o和是直和的充分必要条件是:
仅当全为零矢量时才成立.
2o和是直和的充分必要条件是:
Φ(空集)
3o设是线性空间V的子空间,若
则
其逆也真.
这表明对于子空间的直和,维数是可加的. 由此可见,若
把子空间的基
合并起来就得到子空间W的一组基.
[商空间] 设S是V的一个子空间,并设两个矢量,若,则说和是等价的,记作. 实际上,这个关系具有等价关系的三个性质:
(i) 反身性 对每个,有;
(ii) 对称性 若,则;
(iii) 传递性 若,,则.
和集合的情形一样,称两个等价的矢量和是属于同一类.
每个矢量恰好包含在一个类中,这一类记作. V中的零矢量0包含在与子空间S重合的类中.
若把每个类作为一个元素,则这一切元素组成的集是一个线性空间,称为V关于S的商空间,记作. 商空间的零矢量是,且有
由此可见,若,则商空间的维数是零;又若S是零空间,则商空间的维数与V的维数相同.