第九章
抽象代数h线性空间h泛函分析
本章内容包括抽象代数、线性空间与泛函分析三个部分,重点介绍线性空间. 为了介绍线性空间的需要,这里简略地介绍了抽象代数的初步知识,即群、环、域等基本概念及其简单的性质. 泛函分析是作为线性空间的理论在分析上应用的一个范例来介绍的,因而也不作系统的叙述. 在这里除了叙述勒贝格积分的基本概念与重要性质外,还扼要地介绍了赋范线性空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间和它们的一些简单的性质.
在线性空间部分介绍了线性空间、线性变换、酉空间、二次型和埃尔米特型、方阵的若当标准型等的定义、性质以及一些算法.
§1 抽象代数
一、 基本代数系统
[代数运算] 假定对于集(见第二十一章,§1,一)A中任意元素a与集B中任意元素b,按某一法则可以与某一集C中唯一确定的元素c对应,则称这个对应为A,B的一个(二元)代数运算. 集A,B也可以是同一个集,就是对A中任两个元素a,b,可以唯一确定元素c,使,c可属于A或不属于A,若属于A,则称A在运算下是封闭的.
在二元运算下,若对A的任意两个元素a和b成立,则称A是可交换的. 若对A的任意三个元素a,b,c在下,成立,则称A是可结合的. 若运算是通常的加法或乘法,就分别记作或. 整数集中的加法和乘法都是可交换的与可结合的,因此整数集是可交换和可结合的.
[代数系统] 如果一个集A具有满足某些法则的代数运算,就称集A为代数系统. 群、环、域就是三个基本的代数系统.
二、 群
[群的定义与例子] 设G不是空集(见第二十一章,§1,一),对G给定一个代数运算,若在之下,满足下列四个条件,则称G为一个群:
(i) G在之下是封闭的,即对每一对元素,则有唯一确定的元素,且.
(ii) G在之下是可结合的,即对任意,有
(iii) 在G中有一元素e,对任一,满足
(iv) 对任一,都有一个,满足
条件(iii)中的e称为单位元或恒等元;条件(iv)中的称为的逆元.
注意,定义中条件(iii)可改为:有一个左单位元e(或右单位元),使(或),对任意成立. 因为由此推出. 因此,群中单位元是唯一的.
定义中条件(iv)可改为:每个元有左(或右)逆元,使(或)成立. 因为由此推出,从而也成立. 因此,群中每个元的逆元是唯一的.
若一个群G的乘法可交换,则称G为交换群或阿贝耳群.
特别在加法之下,交换群称为加法群. 在加法群时,改为,逆元改为负元-,单位元称为零元,记作0.
例1 整数集N组成一个加法群;有理数集、实数集、复数集各组成一个加法群.
例2 非零的实数集对于乘法组成一个群. 正的实数集对于乘法也组成一个群.
例3 一切元在数域F中的n阶可逆矩阵对于矩阵的乘法组成一个群,记作.
例4 设Ω是一个平面图形,是平面上一切使Ω不动的正交变换所组成的集,则组成一个群. 通称为图形Ω的对称群.
例5 一切n次置换的集合组成一个群,称为置换群,记作.
事实上,若任取两个n次置换:
可改写为:
对置换和,规定置换
和它们对应,即为和的乘积,记作
在这个乘法之下,不难推出满足群中规定的条件,因而组成一个群.
例6 非空集S到自身的一切可逆变换(见第二十一章,§1,二)对于变换的乘法组成一个群,称为集S的全变换群,记作. 的子群称为S上的变换群.
[群的基本性质]
1o 在群中,对任意元a,b,方程
各有解. 即.
2o 消去律成立. 即若,则.
3o 群中一般结合律成立. 即
4o 交换群中一般交换律成立. 即
式中是的任一排列.
[子群] 设群G的非空子集H对于G的运算也组成一个群,则称H为G的一个子群.
群G的非空子集H是子群的充分必要条件是:若,则.
任意个子群的交集(见第二十一章,§1,三)是一个子群.
[循环群] 一个元a的一切乘幂的全体组成一个群,称为循环群. 循环群是交换群.
若序列中没有两个元素相等的,则称G为无限循环群. 若有相等的元素,即
可推出G为n个元的集,即
这时称G为有限循环群,n称为G的阶,即n为使的最小正整数.
循环群的子群还是循环群.
[不变子群·陪集·商群] 设H为群G的一个子群,若对每个元, 有
(这里表示g与H中一切元素的乘积,例如),即,则称H为G的一个不变子群(或正规子群).
和分别称为G对H含元素g的左陪集和右陪集. 因此含同一元素的不变子群的左陪集和右陪集是重合的.
把陪集看作元素时,一切陪集构成一个群,称为G对H的商群,记作G/H.
拉格朗日定理 有限群G的子群的阶是群G的阶的一个因数.
G的不变子群H的商群的阶为的阶被的阶除所得的商.
交换群的一切子群都是不变子群.
若群G除自身外,无任何其他不变子群,则称G为单群.
[同构与自同构] 设两个群,若使中任意两元a,b的乘积与中相应元的乘积对应,而且只与这个乘积对应,即
具有这个性质的到上的一对一的对应,称为一个同构,又称与是同构的,记作. 群G到自身的同构称为自同构.
同构有以下性质:
1o在同构之下,一个群的单位元、逆元、子群分别对应到另一个群的单位元、逆元、子群.
2o同构是一个等价关系,即
(i) 反身性 ;
(ii) 对称性 若,则;
(iii) 传递性 若,,则.
3o凯莱定理 任一群G都同构于它的元素集的某一变换群.
[同态与自同态] 有两个群,,与一个映射:. 设,若满足
则称为一个同态. 为的一个同态象,记作~. 群到自身的同态称自同态.
同态有以下性质:
1o一对一的同态就是同构.
2o在同态之下,单位元映到单位元,逆元映到逆元.
3o假定f是群G到的一个同态,则G中对应于的单位元的一切元素所成的集N是G的一个不变子群. N称为同态f的核,记作.
4o假定群G,同态,则G中对应于的任一固定元素的一切元素所成的集是G对同态核N的一个陪集.
5o同态基本定理 假定G,同态,群G对N的陪集与的元素之间的一一对应是与商群G/N之间的一个同构. 它表明G的同态象与对应的商群G/N同构.
三、 环
[环的定义与例子] 一个非空集R有加法和乘法两个二元运算,若满足下列三个条件,就称R为一个环:
(i)R是一个加法群;
(ii)对乘法满足结合律. 即对任何,有
(iii)对加法和乘法满足左、右分配律. 即对任何,有
一个环若满足乘法的交换律,则称R为交换环.
例1 一切整数全体是一个环,称为整数环.
例2 设F是一个数域,则域F上的多项式的全体是一个环,记作F[x].
例3 如果数集R中任意两个数的和、差、积仍属于R,则R也是一个环,称为数环. 单个数零也是一个数环,称为零环,显然,数环总是交换环.
例4 若R是一个环,一切用R的元所成的n阶方阵在矩阵的加法与乘法之下,构成一个环,称为R上的n阶全方阵环,记作. 当时,为非交换环.
[环的基本性质] 因为环是一个加法群,所以它具有加法群的一切性质. 因此只介绍由乘法所表示的各种性质.
1o
2o
3o对减法分配律成立,即
4o一般结合律成立,即
5o一般分配律成立,即
6o对任意整数m,有
7o对正整数的指数定律成立,即
对交换环还有
[零因子与单位元] 在环R中,若,使,则称a为R的左(右)零因子,记作. 又称a为b的左(右)零化元. 一个元同时是左、右零因子,就称它为零因子. 若环中无零因子,就称它为无零因子环. n阶全方阵环就是无零因子环.
若环R中有元素,对任一,有,则称为R的左(右)单位元. 若同时是左、右单位元,即,则称e为R的单位元. 这时称R为有单位元环. 例如整数环是单位元环,1就是它的单位元;n阶全方阵环有单位元,就是单位矩阵I.
若R有单位元,则单位元是唯一的;若R有单位元e,并对有逆元,则是唯一的.
有单位元而无零因子的交换环称为整环. 例如整数环、数域都是整环.
[子环与扩张环] 设S是环R的一个子集,若S对R的两个运算组成一个环,则称S为R的一个子环,称R为S的扩张环.
环本身可以看作是它的子环,零环也是它的子环. 异于本身与零环的子环称为真子环.
环R的子集S成为R的子环的充分必要条件是:
(i) S为非空集;
(ii) 若,则;
(iii) 若,则.
[理想与主理想] 设R是一个环,I是R的一个子集,若I中任意两个元素之差以及I中任意元素a与R中任意元素r的乘积和都属于I,则称I为R的一个理想. 例如偶数全体是整数环的一个理想. 每一个理想是已知环的子环,其逆不真.
一个环的任意多个理想的交集仍是这个环的理想. 特别,环中含有某一固定元素r的一切理想的交集仍是这个环的理想,即它是由一个元素r生成的理想,称为主理想,记作(r).
四、 域
[域的定义与例子] 一个具有单位元的交换环R,若至少含有一个非零元,并且每个非零元a恒有逆,则称R为一个域.
例1 数域F(有理数域Q、实数域R、复数域C等)都是域.
例2 数域F上的一切有理分式 (且)在有理分式的加法和乘法之下组成一个域,称为数域F上的有理分式域.
[域的基本性质]
1o域没有零因子.
2o若集F在两个二元运算(加法和乘法)下满足下列条件,则F为一个域:
(i) F是以零为单位元的加法群;
(ii) 由除零外的F的一切元组成的集在乘法下是一个交换群;
(iii) 乘法对加法是可分配的,即.
3o在域F中,方程(,且)有唯一的解,并可记作.
4o在域F中,成立指数定律:
式中m,n为任意整数,a,b为F中任意两个元素,只对非零元素才能有负整数的幂.
5o若把域F的单元e的n倍简记作n,则F中任一元a的n倍就是n与a的积.