§3 仿射坐标系
一、
仿射坐标系与度量系数
[仿射坐标] 在三维欧氏空间V中,若取一个直角坐标系,其坐标单位矢量为i,j,k时,则空间中的矢量a可表示为
a=ax
i+ay j+az k
一般地,在空间中给定了三个不共面的矢量e1,e2,e3,则空间中任一矢量a可按这三个矢量分解,令其系数为a1,a2,a3(这里1,2,3不是指数,而是上标)则a可表示为
a=a1e1+a2e2+a3e3
或简计作VV
a=aiei
a=a1,a2,a3={ ai}VVV
这种坐标系e1,e2,e3称为仿射坐标系,e1,e2,e3称为坐标矢量,a1,a2,a3称为矢量a的仿射坐标.
[欧氏空间中度量系数] 当矢量a写成上面的形式时,则它的长度a由
(a)2=(aiei)(ajej)=(eiej)aiaj
给出.令
eiej=gij(=gji) (i,j=1,2,3)
则称gij为仿射坐标系的度量系数.
1 矢量a的长度由
(a)2=gijaiaj
计算.
2 两个矢量
a=aiei,b=bjej
的夹角由
cos=
计算.
3 因为gijaiaj是正定二次型,所以由gij所作的行列式
混合积
(e1,e2,e3)2= =g
(e1,e2,e3)=
[克罗内克尔符号] 对称矩阵
的逆矩阵用
来表示.由逆矩阵的性质,有gij=gji和
gikgkj=
式中
=
称为克罗内克尔符号.
[互易矢量] 利用这个gij规定
ei=gijej
因而有
ej=gijei
eiek=(gijej)ek=gij(ejek)=gijgjk=
eiej=(gilel)(gjmem)=gilgjm(elem)=gilgjmglm=gil=gij
对e1,e2,e3,可以得到
e1=(e2×e3),
e2=(e3×e1), e3=(e1×e2)
e1,e2,e3称为关于坐标矢量e1,e2,e3的互易矢量. gij称为互易矢量的仿射坐标系中的度量系数.
二、
逆变矢量与协变矢量
[逆变矢量与协变矢量] 如果矢量a在坐标系e1,e2,e3中的仿射坐标a1,a2,a3是由公式
a=a1e1+a2e2+a3e3=aiei
给出,则a1,a2,a3称为矢量a的逆变坐标(或称为抗变坐标),而矢量ai称为逆变矢量(或称为抗变矢量).
如果关于坐标矢量e1,e2,e3的互易矢量为e1,e2,e3,矢量a在坐标系e1,e2,e3中的仿射坐标a1,a2,a3是由公式
a=a1e1+a2e2+a3e3=ajej
给出,则a1,a2,a3称为矢量a的协变坐标,而矢量aj称为协变矢量.
在直角坐标系中,矢量的协变坐标与逆变坐标是一致的.一般地,在仿射坐标系中协变坐标与逆变坐标有关系
ai=a·ei=(ajej)·ei=aj(ej·ei)=ajgji
[逆变矢量与协变矢量的标量积]
如果a , b为两个矢量,a1 ,a2 ,a3 ; b1 ,b2 ,b3分别为它们的逆变坐标,则
a·b=gijaibj
如果a , b为两个矢量,a1 ,a2 ,a3 ; b1 ,b2 ,b3分别为它们的协变坐标,则
a·b=gijaiaj
如果a的逆变坐标为a1,a2,a3,b的协变坐标为b1 ,b2 ,b3 , 则
a·b=aibi
三、
n维空间
[n维空间的定义] 如果空间中的点与n个独立实数x1,···,xn的有序组的值建立一对一且双方连续的对应,那末,以这样的点作为元素的集合称为n维实数空间V(简称n维空间),记作Rn.所以空间中一点M对应于一组有序数x1,···,xn;反之,一组有序数x1,···,xn对应于一点M.这样的一组有序数(x1,···,xn)称为n维空间Rn中一点M的坐标.
[n维空间中的矢量] 在n维空间Rn中取一定点O,坐标为(0,0,···,0),另外一点M(x1,x2,···,xn),r为对应于两点O和M的矢量,称为点M的矢径.
假定在Rn中可以引进仿射坐标系,使得矢径r与点M(xi)的坐标的关系是
r=x1e1+···+xnen=xiei
式中e1,···,en是Rn中n个线性无关的矢量,这种坐标系e1,···,en称为Rn中的仿射坐标系,x1,···,xn称为Rn中矢量r的仿射坐标.
在三维空间中所讨论的许多结果,在n维空间中都成立,只要把公式中所出现的指标认为从1到n就行了.
[逆变矢量与协变矢量] 在n维空间Rn中考虑一个任意坐标变换
VV (1)
其中函数关于xi有连续的各阶导数(讨论中所需要的阶数),变换的雅可比式不等于零:
因而(1)有逆变换
设a1,···,an为xi的函数,如果在坐标变换下,它们都按坐标微分一样地变换,即
则称ai为坐标系(xi)中一个矢量的逆变坐标,为坐标系中同一个矢量的逆变坐标.称矢量为逆变矢量.
如果ai按
的形式变换,则称ai为坐标系(xi)中一个矢量的协变坐标,称 为坐标系中同一矢量的协变坐标,称矢量为协变矢量.
逆变矢量和协变矢量的变换系数是不同的,但是它们之间有关系式
式中为克罗内克尔符号.
例 标量场的梯度是一个协变矢量.
设n维空间的标量场为,它沿一无限小位移dxi上的变更
是一个在坐标变换下的不变量,式中是的梯度的分量.因此在坐标变换下,
则
所以是一个协变矢量.