§2 多重积分、曲线积分与曲面积分

 

一、多重积分

 

       1. 二重积分

       连续函数f(x,y)在有限可求积的平面区域Ω内的二重积分

             

式中,,是对Ω中的所有的下标ij求和.

          [特定区域内二重积分的计算公式]

积分区域Ω

计算公式(积分限应从小到大)

 

   

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,则

 

 

 

 

 

       [二重积分的变量替换(雅可比式)] 若连续可微分的函数

             

把平面Oxy上的有界闭区域Ω单值映射到平面上的闭区域Ω',其雅可比式为

 

                     

所以

            

       2. 三重积分

       [直角坐标下的三重积分]  假设有界区域V由下列不等式

              axb, y, z

 确定,其中,,,都是连续函数,且函数f(x,y,z)V上是连续的,则函数f(x,y,z)在有界区域V上的三重积分

             

   有时采用下面公式计算:

             

式中是用平行于Oyz的平面截区域V所得的截断面(6.3).

       V表示在第一卦限中由曲面和坐标平面所围成的封闭区域,则当一切常数都是正的时候,有

               

这种类型的积分称为狄利克莱积分,它在计算重积分时经常用到.

             

       [圆柱坐标下的三重积分]  (6.4)

        

                                   (一般地,02π)

式中V为直角坐标中的有界区域,V'是区域V在圆柱坐标系中的表达式.

       [球面坐标下的三重积分]  (6.5)

                         (一般地,02π,0θπ)

式中V'是区域V在球面坐标系中的表达式.

       [三重积分的变量替换(雅可比式)] 若连续可微函数

Oxyz空间的有界三维闭区域双方单值地映射到O'uw空间的闭区域V',并且当(u, ,w)V'时其雅可比式

             

       3. 多重积分

       [直接计算多重积分]  若函数f()在由下列不等式所确定的有界闭区域Ω内是连续的:

                               ab

                          () ()

                          ………………………

                     () ()

式中a,b为常数,() (),…, () ()为连续函数,则对应的多重积分可按下面公式计算:

      

       [多重积分的变量替换(雅可比式)]  若连续可微函数

              = (), i=1,2,,n

O空间内的有界闭区域Ω双方单值地映射成O'空间内的有界闭区域Ω',并且在闭区域Ω'内雅可比式

特别,根据公式

变换成极坐标(r,)时,有:

 

二、曲线积分

 

       [对弧长的曲线积分]  若函数f(x,y,z)在光滑曲线C:

 的各点上有定义并且连续(图6.6)则

             

式中ds为弧的微分,.这个积分与曲线C的方向无关.

       [对坐标的曲线积分]  若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在光滑曲线C:

的各点上连续,这曲线的正方向为t增加的方向,则

      

当曲线C的正向变更时,积分的符号改变.

       [全微分的情形]  若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在区域V中的任一条光滑曲线C上连续,并且

      

式中u=u(x,y,z)为区域V内的单值可微函数,则

      

式中()为积分曲线C的始点,()为积分曲线C的终点.这说明在假定的条件下,积分值与曲线C的形状无关,只与曲线的始点和终点有关(6.7).

       在单连通区域V内有连续的一阶偏导数的函数P,Q,R能表成全微分

             

的充分必要条件是:在区域V内等式

                    

成立.这时函数u可按下面公式求得:

式中()为区域V内的某一固定点.

       [格林公式]

       1°曲线积分与二重积分的关系.C为逐段光滑的简单(无自交点)闭曲线,围成单连通的有界区域S,这围线的方向使区域S保持在左边,若函数P(x,y),Q(x,y)及它们的一阶偏导数在S+C上连续,则有格林公式

       2° 曲线积分与积分线路的关系.若函数P,Q, 在区域S上连续,且

则沿S内的任一光滑闭曲线的积分为零,即

因而由S中的AB的积分与线路无关(图6.8),即

 

三、曲面积分

 

       [对曲面面积的曲面积分]

       1° S为逐片光滑的双侧曲面*

                      z=z(x,y)   ((x,y))

式中σ为曲面SOxy坐标面上的投影,z(x,y)为单值连续可微函数,函数f(x,y,z)在曲面S的各点上有定义并连续,则

此积分与曲面S的方向(法线的方向)无关.

       2° 若曲面S由连续可微函数

   ((u,)Ω)

给定,则

式中

 

             

             

             

 


  * 曲面上某一点的法线方向的选定,唯一确定了曲面上所有其他点的法线方向,它们就是选定方向的

法线在曲面上连续移动(不经过曲面边缘)的指向,所以也就决定了曲面的一侧.如果改变原来选定

的法线方向,曲面上的所有其他点的法线方向都随着改变,曲面就从一侧移到另一侧.这种曲面称为

双侧曲面.

     [对坐标的曲面积分]  S为光滑的双侧曲面,为它的正面,即由法线方向n(cosα, cosβ,cosγ)所确定的一侧,P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在曲面S上有定义并且连续的函数,则

       若曲面S由连续可微函数

     ((u,)Ω)

给定,则

             

式中

             

       [斯托克斯公式]  C是包围逐片光滑有界双侧曲面S的逐段光滑简单闭曲线,P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)是在S+C上连续可微函数,则

      

       [高斯公式]  S为包含体积V的逐片光滑曲面P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)及其一阶偏导数在V+S上连续,则有高斯公式:

             

式中cosα,cosβ,cosγ为曲面S的法线正方向的方向余弦.

 

四、  重积分、曲线积分与曲面积分的近似计算

 

       [二重积分的近似计算公式]

             

式中对于不同的积分区域Ω选取不同的常数,是求积系数,R是余项.

       Ω为圆形C:     Ac=π

 

n

图示

R

 

 

 

5

 

(0,0)

 

(±h,0)

 

(0,±h)

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

图示

R

 

 

7

(0,0)

 

(±h,0)

 

 

 

 

 

9

 

 

 

(0,0)

 

(±h,0)

 

(0, ±h)

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

(0,0)

 

(±h,0)

 

(±h, ±h)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

(0,0)

(

(

k=1,2,,10

 

 

 

 

 

 

 

 

       Ω为正方形S: |x|h,|y|h ,   =4

n

图示

R

 

 

 

9

 

 

(0,0)

 

(±h,±h)

 

(±h,0)

 

(0, ±h)

 

 

 

 

 

 

n

图示

R

 

 

4

 

 

 

  

 

9

 

(0,0)

 

 

 

       Ω为正三角形T: 外接圆半径为h

n

图示

R

 

 

 

4

(0,0)

 

(h,0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

(0,0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

(0,0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

Ω为正六边形H: 外接半径为h

n

图示

R

 

 

 

7

 

 

(0,0)

 

(h,0)

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

(0,0)

 

 

 

 

 

       [三重积分的近似计算公式]

             

式中对于不同的积分区域V选取不同的常数,是求积系数,R是余项.

       V为球体S: .    =π

n

图示

R

 

 

 

7

(0,0,0)

 

 

 

 

 

 

       V为立方体C: |x|h,|y|h,|z|h.    =8

n

图示

R

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

(0,0,0)

中心到6个面的距离的6个中点

 

6个面的中心

 

8个顶点

 

 

 

n

图示

R

 

 

42

6个面的中心

 

12个棱的中点

 

每个面的对角线上到每个面中心距离为4个点(共

  24点)

 

 

 

       Ω为四面体T.为四面体体积

n

图示

R

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

    4个顶点

 

4个面的重心

 

 

 

 

 

 

   T的重心

 

   4个顶点

 

6个棱的中点

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       [曲线积分的近似计算公式]

       圆周上的曲线积分

              

       [曲面积分的近似计算公式]

       球面上的曲面积分

      

n

图示

R

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

图示

R

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26