§5 变 分 法
一.泛函的变分与泛函的极值
[类函数与曲线的邻域]
有连续导数的函数称为类函数,有阶连续导数的函数称为类函数.
曲线的邻域是指在整个区间内满足不等式
的一切可能的曲线,这时称曲线与曲线有零级接近度.如果此外还满足不等式:,则称曲线与曲线有一级接近度,其中.
[泛函] 如果对某一类函数中的每个函数,有一个的值与之对应,那末变量称为依赖于函数的泛函,记作.
[函数的变分] 所谓泛函的变量的变分是指两个函数间的差:,其中是与属于同一函数类的某一函数.
[泛函的变分] 如果泛函的改变量
可以表为如下的形式
其中对来说是线性的,且当时,,那末称为泛函的变分,记作.并有
[泛函的极值] 若泛函在与接近的任一曲线上的值不小于,即时,则泛函在曲线上达到极小值.类似地可以定义极大值.
如果具有变分的泛函在上达到极小(极大)值,则在上有
泛函的极值问题就是寻求函数,使泛函的值达到最小(或最大).
对于依赖于多个未知函数的泛函
v[y1(x), y2(x), ¼ ,yn(x)]
和依赖于多变量的一个或多个函数的泛函
v[z(x1,x2,
¼ ,xn)]
或 v[z1(x1,x2, ¼ ,xn), z2(x1,x2, ¼ ,xn), ¼ ,zn(x1,x2, ¼ ,xn)]
有类似的说法.
二.不动边界的泛函的极值·欧拉方程
欧拉方程是泛函极值的必要条件,但不是充分的.在处理实际泛函极值问题时,一般不去考虑充分条件,而是从实际问题的性质出发,间接地判断泛函极值的存在性,直接利用欧拉方程来求出极值曲线.
假设F是二阶可微分的,函数y(x)是属于C2类的函数,并满足边界条件
y(x0)=y0, y(x1)=y1
极值曲线y(x)必须满足下面的微分方程(欧拉方程)
或
这是二阶微分方程,它的通解含有两个任意常数,由两个边界条件来确定.因此是一个两点边值问题.
1° 欧拉方程的可积类型
被 积 函 数 F |
欧 拉 方 程 |
F不依赖于: |
|
F关于是线性的: |
|
F只依赖于: |
|
F依赖于x和: |
|
F只依赖于y和: |
|
2° 极坐标系中的欧拉方程
泛 函 |
欧 拉 方 程 |
|
|
|
|
设函数
满足2n个边界条件:
欧拉方程为
假定其中出现的函数yi都是连续的,函数属于C2类,这个二阶微分方程组在空间中确定一族含有2n个参数的积分曲线,2n个参数应当由上面的2n个边界条件确定.
假定F是n+2阶可微分的,函数y(x)属于C2n类,边界条件为
欧拉方程为
这个方程的通解含有2n个任意常数,这些常数一般可以由上面的2n个边界条件确定.
[多重积分的极值]
1° 型的泛函
假定函数F是三阶可微的,函数是二阶可微的,函数在区域D的边界C上的值是给定的,欧拉方程为
式中.这是一个二阶偏微分方程.
2° 型的泛函
欧拉方程为
式中
3° 型的泛函
欧拉方程为
式中
[用参数表示的泛函的极值] 考虑形如
的泛函,其中积分号下的函数不明显地含有自变量t,而且是对于及的一次齐次函数,即
那末不管对参数t作任何替换,积分的形式总不改变.对于参数t的任何选择,函数及应满足两个欧拉方程的方程组:
这些方程不明显地含有参数本身.但两个欧拉方程不是独立的,其中一个可由另一个推出.要想找出极值曲线,只要从两个欧拉方程中拿出一个来,把它跟确定参数的那个方程一起求积分.例如,若选择曲线弧长s作为参数,确定参数的方程为.
三.可动边界的泛函的极值
1°
若两端点分别在曲线和上变动,则使泛函达到极值的函数,除必须满足欧拉方程
外,其端点还必须满足所谓横截条件
2° 若两点所在曲线以隐函数形式给出:
其中有连续的偏导数,且
,
则横截条件为
1°
若两端点分别在曲线
和
上变动,则使泛函达到极值的函数,除必须满足欧拉方程
外,其端点还必须满足横截条件
2° 若分别在曲面
和
上变动,则横截条件为
1° 若之间满足关系
之间满足关系
则使泛函达到极值的函数,除必须满足欧拉方程
外,其端点还必须满足横截条件
2° 如果满足关系式,满足关系式,则横截条件为
四.条件极值问题
[拉格朗日乘数法] 现考虑最简单的条件极值问题:求两个函数及,使泛函
达到极值,且满足附加条件
及固定端点的边界条件
(端点()及()显然应满足附加条件).
这个问题的解法与第五章§3所介绍的关于多变量函数的条件极值的拉格朗日乘数法相仿.作辅助函数
式中是x的一个待定函数,把上述条件极值问题化为以为被积函数的泛函
的无条件极值问题,这样就得到欧拉方程
或
将欧拉方程和约束方程一起消去及一个待求函数(例如z),于是得到含一个函数的二阶微分方程,它积分的两个任意常数由两个边界条件确定.
[等周问题] 在使积分
等于已知常数a和满足边界条件
的一切曲线中,确定这样一条曲线,使泛函
达到极值.这个问题称为等周问题.解法如下:
构造辅助函数
式中是一个待定常数,把上述条件极值问题化为以H为被积函数的泛函
的无条件极值问题,这样就得到欧拉方程
这个方程的通积分含有三个任意常数,即两个积分常数及常数.这些常数由两个边界条件及等周条件确定.但要注意只有当所得曲线不是等周条件中的积分
的极值曲线时才是等周问题的解答.
[连续动态系统的最佳控制] 设控制系统的状态方程为
(1)
式中x是一个n维的状态矢量,m是r维的控制矢量,f是一个可微分的n维矢函数,初始条件为
(2)
系统的性能指标为
(3)
最优控制的目的是要求确定控制矢量在满足约束条件(1),(2)下,使性能指标(3)取极小值.这是一个条件极值问题.
作辅助函数
式中 为拉格朗日乘数因子,是一个n维列矢量.问题化为泛函
的无条件极值问题,由此得到,,和使泛函取取极值所要满足的必要条件:
(i)
(控制方程)
(ii)
(状态方程)
(iii)
(欧拉方程)
(iv)
(横截条件)
式中是定义在区间[]上的任意矢函数.这样就把问题归结为求解常微分方程组的两点边值问题,这种问题的解析解仅在特殊情形才存在,由于所得到的欧拉微分方程通常是非线性的,一般采用“试凑法”求解.
说明 利用变分法进行控制系统的最优设计时,一般对控制矢量都不加限制,即只考虑控制矢量所属的控制域或者是开集,但在实际问题中,U常为有界集,而且最佳控制的值会出现在U的边界上,这是利用变分法进行控制系统的最优控制时除遇到两点边值问题外的另一个困难.
五.变分问题的直接方法
[欧拉有限差分法] 考虑泛函
的极值,边界条件为
其步骤如下:
(1)
将积分区间分成n+1等份(图18.11),分点为
又.这时
式中
(2)
选取使函数达到极值,也就是由方程组
来确定.如果从这个方程组难于确定时,也可用本章§2,§3的方法.于是可以用所得到的折线表示变分问题的近似解.
区间[a,b]分得愈细所得近似解就愈精确.
[里兹法] 考虑泛函
的极值,边界条件为
其步骤如下:
(1)
选择一适当的函数序列(称为坐标函数):
构造函数
式中为待定常数.将的近似值代入泛函的表达式,则
(2)
选取,使函数达到极值,也就是由方程组
来确定.如果从这个方程组难于确定时,也可用本章§2,§3的方法.于是可以得到变分问题的近似解.
当n越大时所得近似解就愈精确.
里兹方法也适用于泛函和依赖于多个函数的泛函.
例 求泛函
的极值,其中积分域D为椭圆.
解 只取一个坐标函数xy,则得
,
这时从
得到
而极值问题的近似解为
[康特罗维奇法] 考虑泛函
(1)
的极值,它展布在由二曲线,和二直线所围成的区域D上(图18.12).设在区域D的边界上函数的值z(x, y)已经给出.其步骤如下:
(1)
选取坐标函数序列:
构造函数
式中是待定函数.将z(x,
y)的近似表达式
代入(1)式得
即
(2)
选取函数使泛函达到极值,也就是由欧拉方程
来确定.而任意常数的选取是使在直线和上满足所给的边界条件.于是可以得到变分问题的近似解.
康特罗维奇法也适用于其他形式的泛函.
说明 一般说来,用同样的坐标函数以及相同的项数m,康特罗维奇法比里兹法精确.因为以变量为系数的函数类
较之以常数为系数的函数类
更为广阔.