§2 奇异积分方程
一、奇异积分方程的定义与例子
1° 如果积分方程的积分是积分区间为无限(或核K(x,ξ)为无界函数)的广义积分,那末称该方程为奇异积分方程,例如
(1)
(2)
和
(3)
都是奇异积分方程。
2° 方程(1)的右边所定义的函数可以看作y(x)的傅立叶正弦变换。若当x>0时,F(x)逐段可微且存在,则方程(1)有唯一的反演公式:
(x>0)
考虑齐次积分方程
(4)
从已知的公式
(x>0,α>0)
可知确实是特征值。当时,对任意正常数α,函数
(x>0)
满足方程(4);而当时,对任意正常数α,函数
(x>0)
也满足方程(4)。于是这两个λ值是无穷重的特征值,即每个值对应无穷多个特征函数。这个事实与Fr方程的任一特征值只对应有限个独立特征函数是大不相同的。
3° 由方程(2)右边所定义的函数F(x)是函数y(x)的拉普拉斯变换。因为不是一切函数都能作拉普拉斯变换,两个不同函数不能有同一个拉普拉斯变换。所以对一个给定函数F(x),若(2)存在一个解,则解是唯一的。
考虑齐次积分方程
(x>0) (5)
根据伽马函数的定义有
以代替a,得
由上面两等式推出
如果令
那末上式表明,函数
(x>0)
是积分方程(5)的解。
因此,对参数a的任一值,有一个λ值对应,并且决定了方程(5)的一个非平凡解。
利用恒等式
有
由此推出,在区间内的一切λ值都是奇异积分方程(5)的特征值。
还能证明在区间内的一切λ值也是奇异积分方程(5)的特征值。
积分方程(3)的积分区间是有限的,但是核是无界函数,这种奇异积分方程将在本节二和§3中考虑。
二、具有柯西核和希尔伯特核的积分方程
[柯西核与希尔伯特核]
定理 设L是任一光滑闭曲线,是定义在L 上且满足具有指数a的李普希茨条件*的一个函数,当z从L的内部趋于L上任一点t时,则柯西型积分
(1)
趋于极限值
当z从L的外部趋于L上任一点t时,积分(1)趋于相应的极限值
上面两个等式中的积分都是广义积分
表达式
称为柯西核,式中ζ和t是L上的任意两点。
表达式
称为希尔伯特核,式中s和σ都是实变量,并在闭区间内变动。
柯西核和希尔伯特核之间有很简单的关系。设L是一简单闭曲线,它是有连续曲率的一条光滑曲线。设L的参数方程是
,
设相应的参数s在闭区间内变动。令t=x+iy和t=x(s)+iy(s)。L的方程可写作t=t(s)。设ζ是L上任一点,则有一参数值σ,使。于是不难证明:
式中P(s,σ)是两个变量s 和σ的连续函数,这函数满足具有某指数的李普希茨条件。
[具有希尔伯特核的奇异积分方程] 考虑如下形式的方程:
(2)
式中a和b是常数。
假定核K(s,σ)和自由项F(s)都满足李普希茨条件。
如果K(s,σ)≡0,则所考虑的方程是
(3)
若a2+b2≠0,则这个方程的解是
(4)
若a2+b2=0,则方程一般没有解。
注意特殊情况a=0.不防设b=1,则(3)变为第一类Fr方程
这时,(4)式的解没有用,但方程(3)有解的充分必要条件是:
解的形式是
式中C是任意常数。
在一般情形下,可以证明方程(2)与一般形式的Fr方程等价,于是所考虑的方程归结到解Fr方程。
具有希尔伯特核的奇异积分方程的一般形式是
式中a(s)和b(s)是变量s的函数。若a(s)和b(s)满足李普希茨条件,上式可化为Fr方程,但是二者可能不等价。
[具有柯西核的奇异积分方程] 考虑如下形式的方程:
(5)
式中a和b是常数,L是闭曲线。
若a2-b2≠0,则(5)的解为
具有柯西核的奇异积分方程的一般形式是
它也可化为Fr方程。若a和b是常数,则得到的Fr方程与上面方程等价。在一般情形下需加补充说明。