§2 保角映射
一、保角映射及其性质
[保角映射及其充分必要条件] 如果在区域内任一点的邻域里函数的映射满足条件:(i)伸缩性不变(§1,一),(ii)旋转角不变,并保持角的定向(§1,一),那末称函数的映射是区域内的保角映射(保角变换).
在区域内是保角映射的充分必要条件是:在内解析且导数在内处处不等于零.
[区域D内保角映射的性质]
1o D内任一无穷小圆周的象在相差一个高阶无穷小的程度内是圆周.
2o D内两曲线的夹角映射后保持不变(保角性).
3o D内任一区域(包括D自身)的象是区域.
4o 在D内任一点,不能达到极大值,也不能达到极小值.
5o D内任一点z,都各有一邻域,在这邻域里,是单叶的.
二、分式线性映射及其性质
分式线性函数
所实现的映射称为分式线性映射(分式线性变换).它的逆映射
也是一个分式线性映射.规定与分别对应与,当c=0时,规定对应,那末分式线性映射确定了一个扩充平面与扩充平面之间的一个一对一的对应关系.同时,除了点是一阶极点外,在扩充平面上处处解析.
反过来,如果函数在扩充平面上单叶,并且除了一点(这一点是函数的一阶极点)外处处解析,那末必是分式线性函数.
分式线性映射具有性质:
1o 在扩充平面上处处有保角性(通过处两直线的夹角定义为两直线经变换后的两曲线在处的夹角).
2o 在分式线性变换下,圆周仍变为圆周(直线当作半径无限大的圆周).
3o 关于圆或直线的对称点(见§2,三的脚注)映射后的象保持对称性.
4o 存在唯一的分式线性映射把平面上的任意三点 分别映射到平面上的 任意三点,这样的分式线性映射是
5o 扩充平面上的任意一个圆,都可以找到一个分式线性映射将它映射到扩充平面上的任意一个圆.
6o 在分式线性映射下,四点的交比保持不变(的交比是).注意,四点共圆(或共线)的充分必要条件是它们的交比为实数.
三、简单分式线性映射
图形 |
说明 |
[平移映射]
平面 平面 |
映射 (是复常数) 把图形平移一个复数 |
[伸缩与旋转映射]
平面 平面 |
映射
把模以原点为中心伸缩倍,再绕原点旋转一个角度 |
[反演映射]
平面 平面 |
映射 把单位圆内(外)一点映射到圆外(内)一点(这两点同在一条过原点的射线上,而且它们的模互为倒数)而后再把这个象点映射到它关于实轴的对称点上. 点和是不动点 |
[上半平面到上半平面(或下半平面)的映射]
平面 平面
平面 平面
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映射 (i)当都是实数时,平面的实轴映射成平面的实轴 (ii)当时,把上半平面映射到上半平面(图()). (iii)当时,把上半平面映射到下半平面(图(b)). |
图形 |
说明 |
[上半平面到单位圆内的映射] (映射到)
平面 平面 |
映射(是实数,)把给定的上半平面的一点映射到单位圆的圆心,点映射到. 与单位圆内的半径束相对应的是通过点和的那族圆周的弧(落在上半平面的);与以为圆心的那族同心圆周相对应的是使和成一对对称点*的一族圆周 |
[单位圆内到单位圆内的映射] (圆内一点映射到)
平面 平面 |
映射 (是实数,) 把已知圆内一点映射到圆的圆心,把点关于单位圆周的对称点映射到关于单位圆的对称点,互相对应的曲线标在图中 |
四、对称原理与多边形映射
[对称原理] 设和是平面上关于它们公共边界(一段圆弧)对称的两个区域,而和是平面上关于它们公共边界(一段圆弧)对称的两个区域.
如果函数满足下列条件:(i)将保角映射到;(ii)在上连续,将单叶映射到.那末存在一个函数具有性质:
1o 把区域保角映射到区域.
2o 在内,.
3o 将区域内关于对称的两点映射到区域内关于对称的两点.
[多边形映射] 多边形映射是把半平面映射到一个多边形的映射.
设平面实轴上有个点,平面上一边形,顶点是,在点处的顶角是,那末施瓦兹-克里斯托弗尔积分
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是三个常数)把平面的上半平面映射到已给边形内部, 平面实轴上的个点分别映射到平面的边形的个顶点(图10.4).
如果平面的无穷远点(设)与边形一个顶点(设)对应,那末映射简化成
例 求矩形映射把平面的上半平面映射到平面上的一个矩形的内部(图10.5).
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解 首先考虑平面的第一象限映射到矩形内部的右半部分.同时让的原象记为.把这个映射关于轴的正半轴应用对称原理,就有,同时根据施瓦兹-克里斯托弗尔积分,所求的映射就是
由于,所以,又由于.所以
(1)
即 (2)
设 常数已知,适当选择矩形的长和宽(即和),使(1)、(2)式中的常数.
这是第一类椭圆积分(第十二章§1,十).
五、保角映射的存在唯一性定理(黎曼定理)
除去两个例外(扩充平面或扩充平面除去一点),对单连通区域有下面的保角映射的存在唯一性定理:
设平面上单连通区域(不包含)的边界点不止一个,那末在上存在唯一的单叶解析函数把单叶保角映射到单位圆内部,同时满足
(i)
(ii) 是一常数.