§2  代数方程的性质

一、多项式与代数方程的一般性质

[代数基本定理]  每个复数域上n次代数方程

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+L+a_n－1x+a_n=0           (n1)

在复数域中至少有一个根.

代数基本定理的推论：每个n次代数方程在复数域中有n个根，而且只有n个根.

[多项式的导数]  多项式f(x)的导数为

(x)=na₀x^n－1+(n－1)a₁x^n－2+L+a_n－1

微分学中仅考虑实变数函数的导数，而代数学中必须考虑复系数的复变数多项式的导数，但是它们的定义与计算公式仍然一样.

[单根与重根]

1° 多项式的单根不是它的导数的根.

2° 多项式的m重根（即有m个根相同）是它的导数的m－1重根（m>1）.

3° 若x₁,x₂,L,x_k分别为f (x)的α₁,α₂,L,α_k(α₁+α₂+L+α_k=n)重根，则

f (x)=a₀(x－x₁)(x－x₂)L(x－x_k)

[洛尔定理及其推论]  由微分学中的洛尔定理可知，在实系数方程f (x)=0的两个实根之间总有(x)=0的一个实根.

从这个定理可推出下列两个推论：

1° 若f(x)的一切根都是实的，则(x)的一切根也是实的.在f(x)的相邻两根之间有(x)的一个根并且是一个单根.

2° 若f(x)的一切根都是实的，且其中有p个（计算重根）是正的，则(x)有p个或

p－1个正根.

       [多项式的相关]

1° 若多项式f (x),(x)的次数都不超过n，而它们对n+1个不同的数α₁,L,有相等的值，即f(α_i)=(α_i) (i=1,L,n+1),则f (x)= (x).

       2° 多项式f (x)和(x)的根完全相同的充分必要条件是f (x)和(x)只差一个不等于零的常数因子.

       [整根与有理根] 任意整系数方程f (x)=0，若有一个有理根（为既约分数），则p是α_n的约数，q是α₀的约数.

       由此可推出：任意整系数方程的整根必为常数项的约数，若整系数方程的首项系数为1，则它的有理根必为整数.

       [实根与复根，共轭实根与共轭复根]

       1°  任意有理系数方程f (x)=0，若有一个根a+(a,b是有理数，是无理数)，则必有另一个根a－.这时a+与a－称为一对共轭实根.

       2° 任意实系数方程f (x)=0的复根只可能是成对的共轭复根，并且根的重数相同.从而，复根的个数是偶数.

       3° 任意实系数奇数次方程f (x)=0至少有一个实根.

       4° 任意实系数偶数次方程f (x)=0,a₀a_n<0,则至少有两个实根（一个正根和一个负根）.

       [根与系数的关系]  设

f (x)=xⁿ+a₁x^n－1+L+a_n

为复数域S上的一元多项式，x₁,x₂,L,x_n为f (x)在S中的n个根，则根与系数的关系为

x₁+x₂+L+x_n==－a₁

x₁x₂+x₁x₃+L+x_n-1x_n==a₂

x₁x₂x₃+x₁x₂x₄+L+x_n-2x_n-1x_n==－a₃

LLLLLL

x₁x₂Lx_n=(－1)ⁿa_n

这就是说，f (x)的x^n-k的系数a_k等于从它的根x₁,x₂,L,x_n中每次取k个（不同的）一切可能乘积之和,若k是偶数,则取正号，若k为奇数，则取负号.

       [根的范围]  设ξ为复系数代数方程

f (x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+L+a_n-1x+a_n=0                                       (1)

的根.

       1° 若所有系数a_i0 (i=0,1,L,n),则,其中为实系数代数方程

F(x)=xⁿ－x^n－1-L-=0

的一个正实根.

       2° 设γ₁,γ₂,L,γ_n-1为任意正数，则τ,其中τ为下列n个数中最大的一个:

+,  +,  L,  L+,

特别,取γ_i=1(i=1,2,L,n－1)时,有

max                               (2)

方程(1)中作变换x=,可求出的上界，因而得到

                            (3)

更进一步，记(2)式右边为M，记(3)式右边为m，如果取ρ<M,使得

L

取>m，使得

L

那末有.

       3° 设γ为任意正数，则，其中

τ₁=max

特别，取γ=1，有

       4° 若所有系数都为正实数，则

min

       5° 若方程（1）的系数满足不等式

则方程（1）至多有一个绝对值≥1的根ξ₁，而且

       [多项式的分解]

       1° 设f (x)为实数域上的多项式，若有非常数的实系数多项式g(x)和h(x),使得

f (x)=g(x)h(x)

则称f (x)为实数域上可约（或可化），否则称f(x)为实数域上的不可约多项式.

       2° 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含（共轭）复根的二次多项式.

       3° 每个实系数多项式都可分解为实系数的一次因式与二次因式之积.

       有理数域上的多项式的分解见第二十章，§5，2.

       [余数定理与综合除法]  若c为一常数，则多项式f (x)除以x－c所得的余数等于f(c).

设                               f (x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+L+a_n－1x+a_n

求f (x)除以x－c的商式与余数其计算格式如下：

                    

式中b₀=a₀,b_i=a_i+b_i-1c(i=1,2,L,n).于是得到

商式             q(x)=b₀x^n-1+b₁x^n-2+L+b_n-1

余数             r=b_n=f(c)

例        f (x)＝  除以 x－2. 列出算式

      

所以         

       [多项式的泰勒公式（秦九韶法）]  n次多项式

f (x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+L+a_n-1x+a_n         (a₀0)

在任意点c的泰勒展开式为

f (x)=b₀(x－c)ⁿ+b₁(x－c)^n-1+L+b_n-1(x－c)+b_n

式中系数b_i (0≤i≤n)按下面的方法计算.

首先在(n+2)(n+2)方阵的对角线上列出a₀,a₁,L,a_n,d（d为符号），在第1列上列出a₀(即a_i,i=a_i-1,i=1,2,L,n+1;a_n+2,n+2=d;a_i,1=a₀,i=1,2,L,n+2).

 

然后再按递推公式

a_i,jc+a_i,j+1=a_i+1,j+1  (i=2,L,n+1; j=1,L,i－1)

自上而下，自左而右依次计算出对角线下其余各元素，那末第n+2行各元素即为所求系数，即

b₀=a₀,  b_i=a_n+2,i+1    (i=1,2,L,n)

   例   求f (x)＝ 在x=2处的泰勒展开式.

   解

                    

   则          

              f (x)＝